Αν δώσει κανείς εξωγενώς τη σύνθεση της ζήτησης, τότε η πιθανότητα, το πρόβλημα του von Neumann να έχει λύση, είναι προφανώς απειροελάχιστη, διότι για να έχει θα πρέπει όχι μόνο να υπάρχει πρότυπο σύστημα για τη μεγιστοποιούσα το ποσοστό κέρδους τεχνική αλλά και το ακαθάριστο προϊόν αυτού του προτύπου συστήματος να έχει την ίδια ακριβώς σύνθεση με την εξωγενώς δεδομένη σύνθεση της ζήτησης.

Οι τιμές στο μοντέλο του von Neumann δεν είναι τυποποιημένες. Αν τις τυποποιήσουμε, τότε η σύνθεση του τυπικού εμπορεύματος της εξίσωσης τυποποίησης λειτουργεί ως εξωγενώς δεδομένη σύνθεση της ζήτησης. (Σχετικά με το ζήτημα της τυποποίησης των τιμών δες Σταμάτης 1995[α], σς. 227 κ.ε.).

Δεχθήκαμε στα προηγούμενα, ότι το πρώτο σκέλος του προβλήματος που έθεσε ο von Neumann, δηλ. ο προσδιορισμός της μεγιστοποιούσας το ποσοστό κέρδους τεχνικής και συνεπώς του ως προς την τεχνική μέγιστου ποσοστού κέρδους, έχει πάντα λύση. Αυτό είναι αληθές. Σημαίνει όμως απλώς και μόνον το εξής: Ότι υπάρχει μια μεγιστοποιούσα το ποσοστό κέρδους τεχνική και συνεπώς ένα ως προς την τεχνική μέγιστο ποσοστό κέρδους. Ωστόσο δεν σημαίνει ότι η οικονομία χρησιμοποιεί πράγματι, δηλ. πάντα, αυτήν την τεχνική και συνεπώς επιτυγχάνει το ως προς την τεχνική μέγιστο ποσοστό κέρδους. Για να συμβαίνει το τελευταίο θα πρέπει να αποδειχθεί ότι η οικονομία, απ' όποια τεχνική κι αν εκκινεί, φθάνει, μετά από διαδοχικές αλλαγές τεχνικής σύμφωνες με το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του κόστους, πάντα στη μεγιστοποιούσα το ποσοστό κέρδους τεχνική. Μπορεί να δείξει κανείς ότι αυτό συμβαίνει μόνον όταν καθεμιά από τις διαθέσιμες τεχνικές είναι μια τετράγωνη μη διασπώμενη τεχνική, η οποία παράγει βασικά μόνον εμπορεύματα και για την οποία υπάρχει πρότυπο σύστημα (δες Σταμάτης 1996[β]).

Εν τέλει πρόκειται όχι για τεχνικές, αλλά για τα πρότυπα συστήματα που χρησιμοποιούν τις δεδομένες τεχνικές. Το πρότυπο σύστημα, το οποίο χρησιμοποιεί τη μεγιστοποιούσα το ποσοστό κέρδους τεχνικής, μεγιστοποιεί προφανώς όχι μόνον το ποσοστό κέρδους αλλά και τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστο υλικό ρυθμό μεγέθυνσης. Κάθε κατάσταση μη ισορροπίας είναι ένα πρότυπο σύστημα και συνεπώς - εξαιρέσει του ότι είναι μια κατάσταση μη ισορροπίας, τουτέστιν μια κατάσταση, στην οποία το ποσοστό κέρδους και ο ίσος με αυτό υλικός ρυθμός μεγέθυνσης δεν είναι μέγιστα ως προς την τεχνική, ακριβώς η ίδια με την κατάσταση ισορροπίας, όπου τα δύο αυτά μεγέθη είναι μέγιστα ως προς την τεχνική. Επίσης σε καθένα από τα πρότυπα συστήματα, που συνιστά κατάσταση μη ισορροπίας, αντιστοιχούν ακριβώς όπως και σε εκείνο πρότυπο σύστημα, που συνιστά την κατάσταση ισορροπίας, που μεγιστοποιεί δηλ. το ποσοστό κέρδους και τον ίσον με αυτό ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικόν ρυθμό μεγέθυνσης, τυχαίες μη μηδενικές τιμές.

Τελικά λοιπόν το μοντέλο του von Neumann είναι ένα μοντέλο επιλογής τεχνικής με κριτήριο τη μεγιστοποίηση του ποσοστού κέρδους και του ίσου με αυτό ως προς τις επενδύσεις μέγιστου υλικού ρυθμού μεγέθυνσης και συνεπώς ένα μοντέλο επιλογής εκείνου του προτύπου συστήματος από τα πρότυπα συστήματα, τα οποία χρησιμοποιούν τεχνικές εκ των τεχνικών μιας δεδομένης τεχνολογίας, το οποίο μεγιστοποιεί το ποσοστό κέρδους και συνεπώς, ως πρότυπο σύστημα που είναι, και τον ίσον με αυτό το τελευταίο ως προς τις επενδύσεις υλικόν ρυθμό μεγέθυνσης. Έτσι λοιπόν δεν είναι ένα μοντέλο επιλογής τεχνικής, αλλά ένα μοντέλο επιλογής συστήματος και δη προτύπου συστήματος με κριτήριο τη μεγιστοποίηση του ποσοστού κέρδους.

Τελικό συμπέρασμα: Η μαθηματική γενίκευση οικονομικών προβλημάτων, ακόμη κι όταν γίνεται από έναν von Neumann, δεν συνιστά τον καλύτερο τρόπο πραγμάτευσης αυτών των προβλημάτων, διότι συχνά τους αφαιρεί το οικονομικό τους περιεχόμενο και νόημα. Η εφαρμογή των μαθηματικών στην οικονομική επιστήμη θέτει και στους μαθηματικούς, ακόμη και σε μαθηματικούς σαν τον von Neumann, απαιτήσεις που δεν πληρούνται απλώς και μόνον από τη γνώση των εφαρμοζόμενων μαθηματικών.

Παράρτημα ι

νες τεχνικές (α) είναι ή δεν είναι ίσο με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστο υλικό ρυθμό μεγέθυνσης αυτής της τεχνικής (είναι, όταν υπάρχει, και δεν είναι, όταν δεν υπάρχει γι' αυτήν την τεχνική τέτοιος ρυθμός μεγέθυνσης) και (β) είναι, όταν είναι ίσο με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικό ρυθμό μεγέθυνσης, μικρότερο ή ίσο ή μεγαλύτερο από το ίσο με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικό ρυθμό μεγέθυνσης ποσοστό κέρδους κάθε άλλης τεχνικής, για την οποία υπάρχει ένας τέτοιος ρυθμός μεγέθυνσης. «Σταθερό» σημείο είναι λοιπόν εκείνο το ίσο με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικό ρυθμό μεγέθυνσης ποσοστό κέρδους μιας (ή περισσοτέρων) εκ των δεδομένων τεχνικών, το οποίο είναι μεγαλύτερο (ή δεν είναι μικρότερο) από το ίσο με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστο υλικό ρυθμό μεγέθυνσης ποσοστό κέρδους κάθε άλλης τεχνικής, για την οποία υπάρχει ένας τέτοιος ρυθμός μεγέθυνσης. Ονομάζουμε αυτό το ποσοστό κέρδους «σταθερό σημείο», επειδή, όταν υπάρχει, υπάρχει πάντα, όπως κι αν μεταβληθούν οι τεχνικές της δεδομένης τεχνολογίας [Α, Β].1

1. Εδώ δύναται να ορισθεί και άλλο «σταθερό σημείο», όπως π.χ. η τεχνική, για την οποία υπάρχει πρότυπο σύστημα και η οποία ελαχιστοποιεί το ποσοστό κέρδους και τον ίσο με αυτό ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλίκόυρυθμόν μεγέθυνσης ή, αντιστοίχως, οι τεχνικές, για τις οποίες υπάρχουν πρότυπα συστήματα και οι οποίες ελαχιστοποιούν το ποσοστό κέρδους και τον ίσον με αυτό ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικό ν ρυθμόν μεγέθυνσης.

Για μια αφελέστατη όσο και εσφαλμένη παράσταση για το τι είναι «σταθερό σημείο» δες Νικόλαος Κ. Αρτεμιάδης, Εφαρμογές των καθαρών μαθηματικών στις οικονομικές επιστήμες (Απονομή βραβείου Nobel 1995), Πρακτικά της Ακαδημίας Αθηνών, έκτακτος συνεδρία της 1βης Μαΐου 1995 υπό την προεδρία Μανούσου Μανούσακα, τόμος 70(1995), τεύχος Β ', σ. 335. Είπεν δε εις την έκτακτον συνεδρίαν της 1βης Μαΐου του σωτηρίου έτους 1995 της Ακαδημίας Αθηνών ο Ακαδημαϊκός και μαθηματικός Νικόλαος Κ. Αρτεμιάδης, προεδρεύοντος του επίσης Ακαδημαϊκού Μανούσου Μανούσακα εις επήκοον διαφόρων επωνύμων και ετύπωσεν εις τα Πρακτικά της του 1995 με ψιλές και δασείες, οξείες και βαρείες αλλά και περισπωμένες επίσης, ιδίοις αλώμασιν η ένδοξη Ακαδημία Αθηνών τα εξής αξιομνημόνευτα:

«Το ακόλουθο παράδειγμα, απαλλαγμένο από κάθε μαθηματική ορολογία και συμβολισμό, πιστεύω ότι μπορεί να δώσει μια διαισθητική εικόνα της έννοιας του "σταθερού σημείου".

Ας φανταστούμε μια γυάλινη σφαίρα με πολύ λεπτή άμμο και ας ταυτίσουμε τα σημεία της σφαίρας με τους κόκκους της άμμου. Εν συνεχεία ας δώσουμε στην σφαίρα μια κίνηση "συνεχή". Τότε σημεία της σφαίρας, κόκκοι δηλαδή άμμου, μετακινούνται, η δε σφαίρα υφίσταται ένα "συνεχή μετασχηματισμό". Το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer, ουσιαστικά, μας λέγει ότι κατά τον συνεχή αυτό μετασχηματισμό της σφαίρας, τουλάχιστον ένα σημείο αυτής, τουλάχιστον ένας κόκκος άμμου παραμένει ακίνητος, σταθερός. Αυτή είναι η κεντρική ιδέα στα θεωρήματα σταθερού σημείου» (ο.π., σ. 335).

Τούτο ασφαλώς είναι ασφαλέστατο στα παραπάνω: διατί η πλήρης λεπτής άμμου σφαίρα πρέπει να είναι υάλινη. Πρέπει να είναι υάλινη για να δυνάμεθα να βλέπουμε καθαρότατα ό,τι είναι παντελώς αδύνατον να συμβεί, και συνεπώς να δει κανείς, δηλ. έναν περιεχόμενον σε μια σε «συνεχή» κίνηση ευρισκόμενη και - για τον μόλις αναφερθέντα λόγο κατ' ανάγκην υάλινη - σφαίρα κόκκον λεπτής οπωσδήποτε άμμου να παραμένει «ακίνητος, σταθερός».

Ο μαθηματικός Νικόλαος Κ. Αρτεμιάδης συγχέει εδώ, πρώτον, το ανοικτόν με το υάλινον και ως εκ τούτου διαφανές του κατά την προτίμησίν του αλλά όχι και κατ' ανάγκην σφαιρικού δοχείου της επίσης κατά την προτίμησίν του αλλά όχι κατ' ανάγκην λεπτής άμμου, δεύτερον, τη μεταβολή του εκ λεπτής ή μη άμμου αποτελούμενου περιεχομένου αυτού του σφαιρικού ή μη, διαφανούς ή μη, αλλά πάντως ανοικτού δοχείου με τη «συνεχή» κίνηση του και, τρίτον, την - παρά την μεταβολήν του εκ λεπτής ή μη άμμου περιεχομένου του εν λόγω διαφανούς ή μη, σφαιρικού ή μη, αλλά πάντως ανοικτού δοχείου - σταθερότητα των ιδιοτήτων ενός τουλάχιστον στοιχείου του με μιαν - παρά την «συνεχή» κίνηση του - παντελώς αδύνατην και αδιανόητην σταθερότητα ενός τουλάχιστον στοιχείου του.

Το ότι κατά κανόνα έχουμε περισσότερα του ενός «σταθερά σημεία» και συνεπώς περισσότερα του ενός Β*χ* σημαίνει προφανώς ότι το μοντέλο του von Neumann ως μοντέλο γενικής ισορροπίας όχι μόνον - όπως παρατηρήσαμε ήδη στα προηγούμεναπροσδιορίζει αυθαιρέτως και τυχαίως και χωρίς καμιά οικονομική θεμελίωση τη σύνθεση της ζήτησης, αλλά κατά κανόνα δεν την προσδιορίζει καν μονοσήμαντα!

Η ορθή «διαισθητική εικόνα της έννοιας του "σταθερού σημείου"» είναι, αν θελήσουμε να παραμείνουμε στα πλαίσια του παραπάνω ακαδημαϊκού παραδείγματος, η εξής: Έχομεν ένα ουχί υάλινον ουδέ σφαιρικόν δοχείον, το οποίον, καίτοι μη υάλινον μηδέ σφαιρικόν, είναι ανοικτόν, τουτέστιν κατέχει πώμα τι, το οποίον δυνάμεθα, προς τον σκοπόν, να εκκενώσωμεν το δοχείο του περιεχομένου του, να αφαιρέσωμεν και, αφού πληρώσωμεν το δοχείον δια νέου, εκ κατά προτίμησιν αλλ' ουχί κατ' ανάγκην λεπτής άμμου συνισταμένου τοιούτου, να επαναθέσωμεν. Το θεώρημα σταθερού σημείου μας λέγει λοιπόν, ουσιαστικότερα όμως τώρα, τα εξής: Πρώτον, υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του εκ λεπτών ή χονδρών κόκκων άμμου συνισταμένου περιεχομένου του υάλινου ή μη, σφαιρικού ή μη δοχείου, υπάρχει δηλ. ένας τουλάχιστον κόκκος άμμου του εν λόγω δοχείου με ορισμένες ιδιότητες, π.χ. οι ιδιότητες ότι είναι αδαμάντιος και ο μέγιστος όλων των εντός του δοχείου, αδαμαντίων ή μη, κόκκων άμμου, και ότι τουταυτόν διαπιστούμε ή δεν διαπιστούμε οσάκις αντικαταστήσωμεν τον εκ λεπτής ή μη άμμου συνιστάμενο περιεχόμενο του υάλινου και ως εκ τούτου διαφανούς ή μη υάλινου και ως εκ τούτου μη διαφανούς, σφαιρικού ή μη σφαιρικού, αλλά πάντως δυνάμενου επανειλημμένως να ανοιχθεί και να σφραγισθεί δοχείου, αφαιρώντες και επαναθέτοντες βεβαίως προς τούτον το πώμα του εν λόγω δοχείου, δηλ. ότι εντός αυτού ευρίσκεται ή δεν ευρίσκεται εις τουλάχιστον κόκκος λεπτής ή μη άμμου των προειρημμένων ιδιοτήτων: αδαμάντιος και μέγιστος όλων των αόαμαντίων ή μη κόκκων άμμου, και, δεύτερον, αυτά τα διαδοχικά, ετερογενή, πεπερασμένα το πλήθος εξ άμμου περιεχόμενα του δοχείου είναι, όταν τον περιέχουν, συγκρίσιμα ως προς τον έναν τουλάχιστον κόκκο άμμου των προειρημμένων ιδιοτήτων, ο οποίος περιέχεται σε καθένα από αυτά. «Σταθερό σημείο» είναι ο ένας τουλάχιστον μεγαλύτερος αδαμάντιος κόκκος άμμου εκ των αόαμαντίων κόκκων άμμου των προειρημμένων ιδιοτήτων, οι οποίοι περιέχονται σε καθένα ή σε μερικά μόνον από τα διαφορετικά εξ άμμου περιεχόμενα του δοχείου. Και ονομάζονται έτσι, επειδή, εάν υπάρχει, υπάρχει πάντα, όποια κι αν είναι αυτά τα διαφορετικά εξ άμμου περιεχόμενα του δοχείου.

Οι ιδιότητες του «σταθερού σημείου» είναι φυσικά ζητήματα ορισμού. Έτσι στην περίπτωση των τεχνικών παραγωγής δύναται π.χ. να ορισθεί και ως το μικρότερο από τα ίσα με τον ως προς τις επενδύσεις μέγιστον υλικό ρυθμό μεγέθυνσης ποσοστά κέρδους των δεδομένων τεχνικών και στην περίπτωση των διαφορετικών εξ άμμου περιεχομένων π.χ. ως ο μικρότερος αδαμάντιος κόκκος άμμου εκ των μεγίστων και αδαμαντίων κόκκων άμμου κάθε εξ άμμου περιεχομένου του δοχείου.

Αλλά, για να μπορέσουν να πάρουν χαμπάρι ο Ακαδημαϊκός και το ακροατήριο του περί τίνος πρόκειται, ας το πούμε όσο πιο απλά γίνεται: Όταν το περιεχόμενο του εν λόγω υάλινου ή μη, σφαιρικού ή μη, αλλά πάντως δυνάμενου να μεταβάλλει το περιεχόμενο του δοχείου αποτελείται από δύο και μόνον λεπτούς ή μεσαίου μεγέθους ή χονδρούς ή χονδρότατους κόκκους άμμου, στους οποίους προσήκουν πάντα η ιδιότητα του διαφορετικού μεγέθους και η ιδιότητα του να είναι ή να μην είναι αδαμάντιοι, τότε, όσες φορές κι αν αλλάξουμε το περιεχόμενο του δοχείου, αφαιρώντας και επαναθέτοντας φυσικά μετά την αντικατάσταση του περιεχομένου του δοχείου το πώμα, αφού διαφορετικά αυτή η αντικατάσταση δεν θα ήταν δυνατή, θα διαπιστώσουμε ότι εντός αυτού του ως εκ των ακολούθων μαγικού ούτως ειπείν δοχείου βρίσκεται πάντα ένα σταθερόν στοιχείο ή σημείον τουτέστιν ένας εκ των δύο κόκκων άμμου είναι πάντα αδαμάντιος και μεγαλύτερος του ετέρου κόκκου άμμου.

Εάν σε όλους τους χονδρούς, μεσαίου μεγέθους ή λεπτούς κόκκους άμμου προσήκουν, αντί όπως παραπάνω δύο ιδιότητες, ψ ιδιότητες, ψ > 2, τότε το διαφανές ή μη, σφαιρικό ή μη, αλλά πάντως δυνάμενο να ανοιχθεί και να σφραγισθεί όοχείον πρέπει αυτονοήτως να περιέχει, παρά τις όποιες αλλαγές του περιεχομένου του, ψ τουλάχιστον κόκκους άμμου με τις ψ ιδιότητες. Έτσι αν σε κάθε κόκκο άμμου προσήκουν οι ιδιότητες του διαφορετικού μεγέθους, του αδαμάντιου ή μη και του σαπφείρινου μαβί ή μη, το όοχείον θα πρέπει να περιέχει πάντα τρεις τουλάχιστον κόκκους, και το «σταθερό σημείο» - ανάλογα πώς έχει ορισθεί - είναι ή ο ένας τουλάχιστον εκείνος κόκκος άμμου, ο οποίος είναι

αδαμάντιος, σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μικρότερος από κανέναν άλλον κόκκο, ή εκείνος, ο οποίος είναι αόαμάντιος, σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μεγαλύτερος από κανέναν άλλον κόκκο, ή εκείνος, ο οποίος δεν είναι αδαμάντιος ούτε σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μικρότερος από κανέναν άλλον κόκκο, ή εκείνος, ο οποίος δεν είναι αδαμάντιος ούτε σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μεγαλύτερος από κανέναν άλλον κόκκο, ή εκείνος, ο οποίος είναι αδαμάντιος αλλά όχι και σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μικρότερος από κανέναν άλλον κόκκο, ή, τέλος, εκείνος, ο οποίος είναι αδαμάντιος αλλά όχι και σαπφείρινος μαβί και δεν είναι μεγαλύτερος από κανέναν άλλον κόκκο. Το «σταθερόν σημείον» λοιπόν, όπως κι αν έχει ορισθεί, περιγράφει εμμέσως όλες τις ιδιότητες που προσήκουν ή δεν προσήκουν σε κάθε σημείον ή στοιχείον. Και καλείται «σταθερόν», όχι επειδή δεν κινείται, όταν κινηθεί το περιεχόμενον, στοιχείον του οποίου αποτελεί αυτό το ίδιο, αλλά επειδή, όπως κι αν μεταβληθεί αυτό το περιεχόμενο, υπάρχει πάντα σε ένα τουλάχιστον από αυτά τα διαφορετικά περιεχόμενα τουλάχιστον ένα, κατά κανόνα διαφορετικό κάθε φορά στοιχείο του μεταβληθέντος περιεχομένου με τις ιδιότητες που έχει ε| ορισμού το «σταθερόν σημείον».

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ von Neumann John, «Ένα μοντέλο γενικής ισορροπίας», Τεύχη πολιτικής οικονομίας, No 8, Άνοιξη 1991.

Σιδηρόπουλος Κώστας, «Σημειώσεις για το γραμμικό μοντέλο γενικής ισορροπίας του J. ν. Neumann», Τεύχη πολιτικής οικονομίας, τεύχος 8, Άνοιξη, 1991.

Σταμάτης Γιώργος, «Περί της "ομαλής" συμπεριφοράς μη διασπώμενων και πολλαπλώς διασπώμενων συστημάτων σύνθετης παραγωγής», Τεύχη πολιτικής οικονομίας, Τεύχος 17, Φθινόπωρο, 1995.

Σταμάτης Γιώργος, Προβλήματα θεωρίας γραμμικών συστημάτων παραγωγής, τόμος 1ος: Βασικά ζητήματα, 2η βελτιωμένη έκδοση, Εκδόσεις Κριτική, Αθήνα, 1995(α).

Σταμάτης Γιώργος, «Μια γενική λύση του μοντέλου γενικής ισορροπίας του John von Neumann για, διαχωρίσιμες ή μη διαχωρίσιμες, μη διασπώμενες και απλώς ή πολλαπλώς διασπώμενες γραμμικές τεχνικές παραγωγής», στου ιδίου: Κείμενα οικονομικής θεωρίας και οικονομικής πολιτικής, τόμος 4ος, Εκδόσεις Κριτική, Αθήνα, 1996.

Σταμάτης Γιώργος, «Ένας απλός τρόπος επίλυσης του γνωστού προβλήματος του μέγιστου ενιαίου ποσοστού κέρδους και ενός ίσου με αυτό ενιαίου υλικού ρυθμού μεγέθυνσης, το οποίο έθεσε και έλυσε ο John von Neumann, και μια κριτική θεώρηση της πραγμάτευσής του ως προβλήματος μεγιστοποίησηςελαχιστοποίησης», στου ιδίου: Κείμενα οικονομικής θεωρίας και οικονομικής πολιτικής, τόμος 4ος, Εκδόσεις Κριτική, Αθήνα, 1996(α).

Σταμάτης Γιώργος, «Κριτική θεώρηση του μοντέλου γενικής ισορροπίας του John von Neumann», δημοσιεύεται στα Τεύχη πολιτικής οικονομίας, No 19, Φθινόπωρο, 1996(β).